介观曲率和双曲性

Mesoscopic curvature and hyperbolicity

by Misha GROMOV

Dedicated to the memory of Alfred Gray

Remark

介观(百度百科)

介观是介于宏观与微观之间的一种体系。处于介观的物体在尺寸上已是宏观的，因而具有宏观体系的特点；但是由于其中电子运动的相干性， 会出现一系列新的与量子力学相位相联系的干涉现象, 这又与微观体系相似，故称“介观”。

$\text{CAT}(\kappa)$ 空间 (参见问题261)

摘要

这篇文章中我们介绍一个概念 $\text{CAT}_\delta(\kappa)$-空间, 这是介于 $\text{CAT}(\kappa)=\text{CAT}_0(\kappa)$ 和 对应于 $\text{CAT}_\delta(-\infty)$ 的 $\delta$-hyperbolicity (essentially) 的角色. 这使得(本着 Cartan-Hadamard 精神的)从局部到整体的通道对于组合群论(combinatorial group theory)的应用至为方便. 关于证明鲜有新内容: 每样东西都伴随了在 $\text{CAT}(\kappa)$-情形中 "$\delta$-扰动" 的类似论述. [Gro]$_{HG}$ 一文已经对 $\kappa=-\infty$ 的情形做了论述. 而我们对于有限的 $\kappa$ 利用轻微的技术调整或多或少做了相同的事情. 特别的, 我们应该看到, 给定 $\sigma>0$, 单连通空间 $X$ 中的所有 $\sigma$-球如果具有 $\text{CAT}_\delta(\kappa)$ 性质, 则可推出  $X$ 具有 $\delta_1$-双曲性, 其中 $\delta_1<2/\sqrt{-\kappa}$ (对所有 $\kappa<0$),